有限状态机

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发布时间：2019-06-09

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有限状态机

图1有限状态机

有限状态机（：finite-state machine，：FSM）又称有限状态自动机，简称状态机，是表示有限个以及在这些状态之间的转移和动作等行为的。

概念和术语

状态存储关于过去的信息，就是说：它反映从系统开始到现在时刻的输入变化。转移指示状态变更，并且用必须满足来确使转移发生的条件来描述它。动作是在给定时刻要进行的活动的描述。有多种类型的动作：

进入动作（

entry action）：在进入状态时进行退出动作：在退出状态时进行输入动作：依赖于当前状态和输入条件进行转移动作：在进行特定转移时进行

FSM（有限状态机）可以使用上面图1那样的（或状态转移图）来表示。此外可以使用多种类型的。下面展示最常见的表示：当前状态（B）和条件（Y）的组合指示出下一个状态（C）。完整的动作信息可以只使用脚注来增加。包括完整动作信息的FSM定义可以使用。

**状态转移表**
当前状态→ 条件↓	状态A	状态B	状态C
条件X	…	…	…
条件Y	…	状态C	…
条件Z	…	…	…

除了建模这里介绍的反应系统之外，有限状态自动机在很多不同领域中是重要的，包括、、、、、和。有限状态机是在和中研究的一类自动机。在计算机科学中，有限状态机被广泛用于建模应用行为、硬件电路系统设计、软件工程，编译器、网络协议、和计算与语言的研究。

分类

有两个不同的群组：接受器／识别器和变换器。

接受器和识别器[]

图2接受器FSM：解析单词"nice"

接受器和识别器（也叫做序列检测器）产生一个二元输出，说要么“是”要么“否”来回答输入是否被机器接受。所有FSM的状态被称为要么接受要么不接受。在所有输入都被处理了的时候，如果当前状态是接受状态，输入被接受，否则被拒绝。作为规则，输入是符号（字符）；动作不使用。图2中的例子展示了接受单词"nice"的有限状态自动机，在这个FSM中唯一的接受状态是状态7。

机器还可以被描述为定义了一个语言，它包含了这个机器所接受而非拒绝的所有字词；我们称这个语言被这个机器接受。通过定义，FSM接受的语言是 - 就是说，如果一个语言被某个FSM接受，那么它是正则的（cf. Kleene的定理）。

开始状态

开始状态通常用“没有起点的箭头”指向它来表示（Sipser (2006）p.34）

接受状态

图3：一个检测二进制数具有奇数或者偶数个0的状态机

接受状态是机器成功的进行了它的程序之后的状态，它通常表示为双重圆圈。

接受状态出现的下面例子的状态图的左边，它确定输入是否包含偶数个0: S₁（它也是开始状态）指示已经输入了偶数个0的状态因此被定义为接受状态。

变换器

使用动作基于给定输入和／或状态生成输出。它们用于控制应用。常分为两种类型：

Moore机

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只使用进入动作的FSM，就是说输出只依赖于状态。Moore模型的好处是行为的简单性。图1的例子展示了一个电梯门的Moore FSM。这个状态机识别两个命令：“command_open”和“command_close”触发状态变更。在状态“Opening”中的进入动作 (E:)开启电机开门，在状态“Closing”中的进入动作以反方向开启电机关门。状态“Opened”和“Closed”不进行任何动作。它们信号通知外部世界（比如其他状态机）情况：“门开着”或“门关着”。

Mealy机

图4变换器FSM: Mealy模型例子

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只使用输入动作的FSM，就是说输出依赖于输入和状态。Mealy FSM的使用经常导致状态数目的简约。在图4中的例子展示了实现同上面Moore机同样行为的Mealy FSM（行为依赖于实现的FSM执行模型，比如对可工作但对不行）。有两个输入动作（I:）：“开启电机关门如果command_close下达”和“反向开启电机开门如果command_open下达”。

在实践中经常使用混合模型。

进一步可区分为确定型（）和非确定型（、）自动机。在确定型自动机中，每个状态对每个可能输入只有精确的一个转移。在非确定型自动机中，给定状态对给定可能输入可以没有或有多于一个转移。这个区分在实践而非理论中更有用，因为存在算法把任何NDFA转换成等价的DFA，尽管这种转换一般会增加自动机的复杂性。

只有一个状态的FSM叫做组合FSM并只使用输入动作。这个概念在多个FSM要一起工作的情况下是有用的，这时把纯组合部分看作一种形式的FSM来适合设计工具可能是方便的。

FSM逻辑

图5 FSM逻辑

FSM的下一个状态和输出是由输入和当前状态决定的。FSM逻辑在图5中展示。

数学模型

依据类型不同有多种定义。接受器有限状态机是 $(\Sigma, S, s_0, \delta, F)$ ，这里的：

$\Sigma$ 是输入（符号的非空有限集合）。

$S$ 是状态的非空有限集合。

$s_0$ 是初始状态，它是 $S$ 的元素。在中， $s_0$ 是初始状态的集合。

$\delta$ 是状态转移函数： $\delta: S \times \Sigma \rightarrow S$ 。

$F$ 是最终状态的集合， $S$ 的（可能为空）子集。

变换器有限状态自动机是 $(\Sigma, \Gamma, S, s_0, \delta, \omega)$ ，这里的：

$\Sigma$ 是输入字母表（符号的非空有限集合）。

$\Gamma$ 是输出字母表（符号的非空有限集合）。

$S$ 是状态的非空有限集合。

$s_0$ 是初始状态，它是 $S$ 的元素。在中， $s_0$ 是初始状态的集合。

$\delta$ 是状态转移函数： $\delta: S \times \Sigma \rightarrow S$ 。

$\omega$ 是输出函数。

如果输出函数是状态和输入字母表的函数（ $\omega: S \times \Sigma \rightarrow \Gamma$ ），则定义对应于Mealy模型，它可以建模为。如果输出函数只依赖于状态 ( $\omega: S \rightarrow \Gamma$ ），则定义对应于Moore模型，它可建模为。根本没有输出函数的有限状态机叫做或。